Révisions
Algèbre linéaire
05 sept. 2025
Plan de la présentation
Propriétés matricielles
Valeurs et vecteurs propres
Diagonalisation de matrices
Propriétés matricielles
Notations de base
\(M_{n, m}(\mathbb{R})\) : matrices à \(n\) lignes et \(m\) colonnes
\(M_{n}(\mathbb{R})\) : matrices carrées de taille \(n\)
\(I_n\) : matrice identité de taille \(n\)
\(u, v \in \mathbb{R}^n\) : vecteurs colonnes
Propriétés du déterminant
Propriétés
\(\det(A^\top) = \det(A)\)
\(\det(AB) = \det(A)\det(B)\)
\(\det(A^{-1}) = \frac{1}{\det(A)}\)
Propriétés du déterminant
Cas particulier où \(A \in M_{2}(\mathbb{R})\).
Soit \(A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\). Alors
\[\det(A) = ad - bc.\]
Propriété du déterminant : exemple (Wooclap: KFFPDJ)
\[A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}\]
On trouve que \(\det(A) = 4 - 6 = -2\), \(\det(B) = 2 - 0 = 2\). Donc
\[\det(AB) = \det(A) \det(B) = -4\]
Inverse de matrices
Propriété
Si \(A\) et \(B\) sont inversibles, alors : \((AB)^{-1} = B^{-1} A^{-1}\).
Inverse de matrices
Cas particulier où \(A \in M_{2}(\mathbb{R})\).
Soit \(A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\). Alors
\[A^{-1} = \frac{1}{ad - bc}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}.\]
Inverse de matrices : exemple (Wooclap: KFFPDJ)
\[A = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\]
On a : \(AB = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 0 & 3 \end{pmatrix},\) donc \((AB)^{-1} = \begin{pmatrix} 1/2 & -1/3 \\ 0 & 1/3 \end{pmatrix}\).
Et effectivement : \(B^{-1}A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1/2 & 0 \\ 0 & 1/3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1/2 & -1/3 \\ 0 & 1/3 \end{pmatrix}\).
Propriétés de la trace
La trace de la matrice \(A \in M_{n}(\mathbb{R})\) est la somme des éléments diagonaux \[\text{tr}(A) = \sum_{i=1}^{n} a_{ii}.\]
Propriétés de la trace
Propriétés
\(\text{tr}(A) = \text{tr}(A^{\top})\)
\(\text{tr}(A + B) = \text{tr}(A) + \text{tr}(B)\)
\(\text{tr}(MN^{\top}) = \text{tr}(N^{\top}M)\)
Propriétés de la trace : exemple (Wooclap: KFFPDJ)
Soit \(X \in M_{n, p}(\mathbb{R})\) avec \(p < n\) et de rang \(p\), et donc telle que \(X^\top X\) est de dimension \(p \times p\) et inversible. Quelle est la valeur de la trace de \(X (X^\top X)^{-1} X^\top\) ?
\[\begin{align*} \text{tr}(X (X^\top X)^{-1} X^\top) &= \text{tr}(X^\top X (X^\top X)^{-1})\\ &= \text{tr}(I_p) \\ &= p. \end{align*}\]
Matrices spéciales
Définitions
Matrice définie positive : \(A\) est définie positive si \[\text{pour tout } u \neq 0,\quad u^\top A u > 0.\]
Matrice orthogonale : \(A\) est orthogonale si \[A^\top A = A A^\top = I_n.\]
Valeurs et vecteurs propres
Valeurs et vecteurs propres
Définitions
Soit \(A \in M_{n}(\mathbb{R})\). Le scalaire \(\lambda \in \mathbb{R}\) est une valeur propre de \(A\) s’il existe \(u \neq 0\) tel que : \(Au = \lambda u\).
\(u\) est le vecteur propre correspondant à \(\lambda\).
Le spectre de \(A\), noté \(\text{sp}(A)\), est l’ensemble des valeurs propres.
Valeurs et vecteurs propres : exemple
\[A = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}\]
Calcul des valeurs propres : \[\det(A - \lambda I) = \det\begin{pmatrix} 3-\lambda & 1 \\ 0 & 2-\lambda \end{pmatrix} = (3-\lambda)(2-\lambda)\]
Donc \(\lambda_1 = 3\) et \(\lambda_2 = 2\).
Valeurs et vecteurs propres : exemple
\[A = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}\]
Calcul des vecteurs propres :
Pour \(\lambda_1 = 3\) : \(u_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}\).
Pour \(\lambda_2 = 2\) : \(u_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}\).
Propriétés des vecteurs propres
Propriétés
Si \(u\) est vecteur propre pour \(\lambda\), alors \(cu\) l’est aussi (pour \(c \neq 0\)).
Pour matrices symétriques : Si \(u_1\) et \(u_2\) sont deux vecteurs propres correspondent à des valeurs propres différentes, alors : \[u_1^\top u_2 = 0 \text{ (orthogonalité)}.\]
Preuve de l’orthogonalité
Soient \(\lambda_1 \neq \lambda_2\) et \(Au_1 = \lambda_1 u_1\), \(Au_2 = \lambda_2 u_2\).
On a \[\lambda_1 u_1^\top u_2 = u_1^\top A u_2 = \lambda_2 u_1^\top u_2.\]
Donc \[(\lambda_1 - \lambda_2)u_1^\top u_2 = 0\]
Comme \(\lambda_1 \neq \lambda_2\), on a nécessairement \(u_1^\top u_2 = 0\)
→ Cette propriété est cruciale pour l’ACP !
Caractérisation des valeurs propres
Propriétés
Matrice symétrique → toutes les valeurs propres sont réelles.
Matrice définie positive → toutes les valeurs propres sont strictement positives.
Caractérisation des valeurs propres : exemple
Soit \(A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \text{ (symétrique et définie positive)}\).
Valeurs propres : \(\lambda_1 = 3, \lambda_2 = 1\) (toutes réelles et > 0).
Vecteurs propres : \(u_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}, u_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}\).
Vérifions l’orthogonalité : \(u_1^\top u_2 = 1 \times 1 + 1 \times (-1) = 0\).
Diagonalisation
Diagonalisation de matrices
Définition
Une matrice \(A\) est diagonalisable s’il existe \(P\) inversible et \(D\) diagonale telles que : \[A = P D P^{-1} \Leftrightarrow P^{-1} A P = D.\]
Interprétation : On peut “simplifier” \(A\) en changeant de base.
Théorème de décomposition spectrale
Théorème
Pour toute matrice symétrique \(A\), il existe une matrice orthogonale \(P\) telle que : \(A = P \Lambda P^\top\) où \(\Lambda = \text{diag}(\lambda_1, \ldots, \lambda_n)\).
La matrice \(P\) est formée des vecteurs propres de \(A\) et \(\Lambda\) est la matrice diagonale des valeurs propres associées.
Exemple
En reprenant l’example précédent.
Soit \(A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}\). On a \(P = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}\) et \(\Lambda = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}.\)
On peut vérifier le théorème de décomposition spectrale :
\[P \Lambda P^\top = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} = A.\]
Lien avec le déterminant et la trace
Propriétés
Si la matrice \(A\) a pour valeurs propres \(\lambda_1, \ldots, \lambda_n\) :
\(\det(A) = \prod_{i=1}^{n} \lambda_i\).
\(\text{tr}(A) = \sum_{i=1}^{n} \lambda_i\).
Lien avec le déterminant et la trace : exemple
Soit \(A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}\). On a vu que ses valeurs propres sont \(\lambda_1 = 3\) et \(\lambda_2 = 1\).
On peut donc vérifier les formules pour le déterminant et la trace :
\[\det(A) = 4 - 1 = 3 = 3 \times 1 = \lambda_1 \lambda_2,\]
\[\text{tr}(A) = 2 + 2 = 4 = 3 + 1 = \lambda_1 + \lambda_2.\]
Comment montrer qu’une matrice est définie positive ?
Soit \(A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}\) et pour tout \(u = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \neq 0\), on a : \[\begin{align*} u^\top A u &= \begin{pmatrix} x & y \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \\ &= 2x^2 + 2xy + 2y^2 \\ &= x^2 + y^2 + (x+y)^2 > 0. \end{align*}\]
Donc \(A\) est définie positive.