Dimension
Analyse des correspondances multiples
10 oct. 2025
Introduction à l’ACM
L’Analyse des Correspondances Multiples (ACM) est un prolongement de l’AFC pour analyser plus de deux variables qualitatives.
Principe fondamental : Transformation préalable par codage disjonctif complet.
Plan
La théorie de l’analyse des correspondances multiples
L’ACM en pratique
Exemple :
Notation de base
\(n\) : nombre d’individus (observations)
\(Q\) : nombre de variables (questions)
\(J_q\) : nombre de modalités de la variable \(q\)
\(J\) : nombre total de modalités (\(J = \sum_{q=1}^Q J_q\))
Objectif : Représenter graphiquement les relations entre toutes ces modalités.
Codage disjonctif complet
Tableau binaire \(Z\) (\(n \times J\)) contenant uniquement des 0 et des 1.
Chaque variable → ses modalités
Individu possède modalité → code 1
Individu ne possède pas modalité → code 0
Disjonctif : au plus une modalité par variable
Complet : au moins une modalité par variable
Exemple concret - Données
Produits avec Type et Prix:
| Nike |
Hoodie |
256.72 |
| Puma |
Joggers |
221.26 |
| Off-W |
Hoodie |
198.45 |
| Supreme |
Hoodie |
235.50 |
Variable Prix → 3 classes : <200$, [200$-250$], >250$
Exemple - Codage disjonctif complet
Tableau transformé \(Z\) :
| Nike |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
| Puma |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
| Off-W |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
| Supreme |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
Chaque ligne somme à \(Q = 2\) (2 variables).
Propriétés du tableau Z
Somme par ligne : \(\sum_{j=1}^J z_{ij} = Q\) (constante)
Somme totale : \(\sum_{i,j} z_{ij} = nQ\)
Somme par colonne : \(\sum_{i=1}^n z_{ij} = n_j\) (effectif modalité \(j\))
Tableau de Burt
\(B = Z^\top Z\) (matrice \(J \times J\))
Propriétés du tableau de Burt
Taille : \(J \times J\) (nombre total de modalités)
Blocs diagonaux : Matrices diagonales
→ Éléments = effectifs de chaque modalité
Blocs non-diagonaux : Tableaux de contingence
→ Croisement entre variables \(q\) et \(q'\)
Symétrie : \(B = B^\top\)
Équivalence mathématique
L’ACM peut s’effectuer sur :
Résultat → Les deux approches donnent les mêmes facteurs!
Cette équivalence offre une flexibilité computationnelle.
Éléments propres de Z
Analyse directe - Vecteurs propres de :
\[S = \frac{1}{Q} Z^\top Z D_J^{-1}\] où \(D_J = \text{diag}(n_1, \ldots, n_J)\).
Coordonnées profils-lignes : \[\Phi_k = n Z D_J^{-1} u_k\]
Éléments propres de Z
Analyse duale - Vecteurs propres de : \[T = \frac{1}{Q} Z D_J^{-1} Z^\top\] où \(D_J = \text{diag}(n_1, \ldots, n_J)\).
Coordonnées profils-colonnes : \[\Psi_k = n D_J^{-1} Z^\top v_k\]
Éléments propres de B
Tableau de Burt symétrique → Analyse directe = duale
Vecteurs propres de : \[S' = \frac{1}{Q^2} B^\top D_J^{-1} B D_J^{-1}\]
On peut réécrire \(S'\) comme : \[S' = \frac{1}{Q^2} Z^\top Z D_J^{-1} Z^\top Z D_J^{-1}\]
Relation entre valeurs propres
Si \(\lambda\) est valeur propre de \(S\) (analyse de \(Z\)), alors \(\lambda^2\) est valeur propre de \(S'\) (analyse de \(B\)).
Conséquence :
Encodage des variables quantitatives
Choix des bornes crucial pour la qualité de l’analyse.
Approches recommandées :
Analyser la distribution (histogrammes)
Bornes pertinentes au domaine d’étude
Éviter les classes peu informatives
Encodage des variables qualitatives
Modalités “naturelles” mais problèmes potentiels.
Effectifs déséquilibrés :
Solutions potentielles :
Regroupements pertinents (connaissance du domaine)
Éviter la répartition aléatoire
Préserver le sens des modalités
Exemple : le succès des étudiants
library(FactoMineR)
library(factoextra)
res_mca <- df |>
MCA(graph = FALSE)
fviz_eig(res_mca)
get_eigenvalue(res_mca)
| Dim.1 |
0.1984565 |
11.90739 |
11.90739 |
| Dim.2 |
0.1898757 |
11.39254 |
23.29993 |
| Dim.3 |
0.1814721 |
10.88833 |
34.18826 |
| Dim.4 |
0.1773147 |
10.63888 |
44.82714 |
| Dim.5 |
0.1672860 |
10.03716 |
54.86430 |
Exemple : le succès des étudiants
fviz_mca_biplot(
res_mca,
repel = TRUE,
label = "none",
ggtheme = theme_minimal()
)
Exemple : le succès des étudiants
fviz_mca_var(
res_mca,
choice = "mca.cor",
repel = TRUE,
ggtheme = theme_minimal()
)
Exemple : le succès des étudiants
fviz_mca_var(
res_mca,
repel = TRUE,
ggtheme = theme_minimal()
)
Exemple : le succès des étudiants
fviz_mca_var(
res_mca,
col.var = "cos2",
gradient.cols = c("#00AFBB", "#E7B800", "#FC4E07"),
repel = TRUE,
ggtheme = theme_minimal()
)
Exemple : le succès des étudiants
fviz_mca_ind(
res_mca,
label = "none",
col.ind = "cos2",
gradient.cols = c("#00AFBB", "#E7B800", "#FC4E07"),
repel = TRUE,
ggtheme = theme_minimal()
)
Exemple : le succès des étudiants
fviz_mca_ind(
res_mca,
label = "none",
habillage = "Hours_Studied",
palette = c("#D81B60", "#1E88E5", "#FFC107", "#004D40"),
addEllipses = TRUE, ellipse.type = "confidence",
ggtheme = theme_minimal()
)
Avantages de l’ACM
Visualisation de relations complexes multi-variables
Traitement unifié de variables hétérogènes
Réduction de dimension préservant les associations
Interprétation intuitive des proximités
Flexibilité dans l’encodage des variables
Limites et précautions
Perte d’information :
Interprétation :
Conclusion
L’ACM étend l’AFC au cas multi-variables grâce au codage disjonctif complet :
Transformation binaire préalable
Équivalence \(Z\) ↔︎ Tableau de Burt \(B\)
Choix d’encodage
Visualisation des patterns complexes
Prochaine étape → éthique de l’analyse de données
